В названиях организаций, учреждений, обществ с большой буквы пишется первое слово: Лондонское королевское общество. Если название усечено до двух слов, с большой буквы пишется первое слово усеченного названия: Королевское общество.
В данном случае это вводное слово, выражающее предположение: Может, что-то случилось?
Если имеется в виду научное Лондонское королевское общество, то верно: английское Королевское общество (слово английский не входит в официальное название организации).
См. вопрос 298205.
Нет, фраза построена неправильно. Корректно: Роль жирных кислот (БАД и т. п.) "Омега-3" для здоровья.
Кавычки нужны, предложение написано верно.
В предложном падеже перед словами, начинающимися гласными, употребляется предлог об: об ученике, об учениках. Подробнее см. в «Письмовнике».
Можно так: за-лью, со-лью, по-лью.
