Вице-президент – название должности (единственное в этом перечислении). Участник Олимпийских игр и вице-президент – неоднородные приложения, вице-президент и заслуженный мастер спорта – неоднородные приложения, поэтому они не разделяются запятой.

Это предложение с однородными сказуемыми (волны шли и качали), поэтому запятая перед и не нужна.

Конечно, правильно. У этого слова есть формы всех падежей, не только именительного.

Устойчиво в языке только: загладить вину (но не в юридической практике!).

Раньше в русском языке были оба слова, они зафиксированы, например, в словаре В. И. Даля. В наши дни они могут быть употреблены разве что в высоком стиле, где встречается архаическая лексика. В состав современного русского литературного языка эти слова уже не входят. Сейчас можно сказать: возрождающий что-либо.

Эта формулировка верна, так как возможны и другие сочетания: его земляк, земляк дяди Вани и т. д.

Название университета склоняется: в Карловом университете.

Вы правы, такое употребление некорректно. Возможные варианты: квартира с двумя уровнями, двухуровневая квартира. Также может иметься в виду квартира на двух этажах, двухэтажная квартира.

Если предлог по используется при обозначении действия, события, после которого что-либо совершается, происходит и т. п., то он по-прежнему употребляется с существительными в предложном падеже: по окончании, по прибытии, по прилете, по приезде. Другие варианты неверны.

В первом предложении запятая не требуется, это простое предложение с однородными сказуемыми.

В предложении о Гагарине запятая нужна, так как это сложное предложение. Подлежащие здесь: Гагарин и он. Но следует сказать, что в целом предложение составлено некорректно (местоимение он обычно указывает на ближайшее существительное мужского рода, а это существительное космос, а не Гагарин). Фразу следует перестроить.