Запятая перед и нужна, поскольку союз (так что) не влияет на постановку запятой между частями сложноподчиненного предложения.
Простого ответа на этот вопрос нет. Слово половина относится к группе существительных с количественным значением — наряду со словами ряд, часть, множество. На выбор формы сказуемого при таких словах влияют разные факторы, основные из которых перечислены в нашем «Письмовнике». Специальные исследования показывают, что в подобных случаях слово половина по своим синтаксическим свойствам близко предметным существительным, а потому сочетается, как правило, со сказуемым в единственном числе. Очевидно, эта форма предпочтительна (но не единственно возможна) и в Вашем примере: Половина дверей открыта настежь.
Запятую ставить не нужно.
В разговорной речи такое сочетание возможно.
Возможны оба варианта.
Правильно: барашков.
Слова "представиться" и "предоставиться" есть в электронных словарях на нашем портале.
