Не вполне понятно, к чему относятся слова открытый конкурс, поэтому дать ответ затруднительно.

В этом предложении союз как имеет значение «в качестве», а потому оборот с этим союзом не обособляется: ...результаты, полученные автором как одним из исполнителей государственной программы при выполнении научных работ...

Запятая в предложении Этот натюрморт находится в Государственной Третьяковской галерее в Москве не нужна. Обстоятельство места в Москве не является уточняющим, так как обычно уточняющий член предложения ограничивает объём понятия, выраженного уточняемым членом предложения: Внизу, под железной сетью воздушной дороги, в пыли и грязи мостовых, безмолвно возятся дети (М. Г.) — уточняющие члены расположены по нисходящей градации, т. е. последующий уточняет значение предыдущего. 

Официальное название ресурса пишется с прописной буквы (первое слово): о регистрации на Едином портале государственных и муниципальных услуг. Кавычки не требуются.

Норма не поменялась: названия высших государственных должностей и титулов пишутся с прописной буквы при официальном употреблении. Это и тексты официальных документов, и официальные названия организаций, советов и др., в которых используется название должности. Например, в составе таких наименований, как Совет при Президенте Российской Федерации по науке и образованию или Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, слово Президент тоже пишется с прописной. 

Обстоятельственные обороты с производными предлогами типа в целях обособляются в некоторых случаях, например тогда, когда требуется обозначить границы оборота, чтобы предложение не выглядело двусмысленным. Так, в приведенном примере, если оборот с предлогом в целях относится к сказуемому используется, нужно поставить запятые, чтобы исключить связь оборота с отглагольным существительным обращение.

В таком случае наименование следует склонять: органом ЗАГС Москвы № 127 Многофункциональным центром предоставления государственных услуг.

По правилам русской орфографии названия должностей, званий, титулов пишутся со строчной буквы, напр.: президент, канцлер, председатель, министр, премьер-министр, заместитель министра, мэр, император, королева, хан, шейх, генеральный секретарь, заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, посол, атташе, директор, генеральный директор, академик, доктор наук, профессор, член-корреспондент, генерал-майор, командующий войсками, руководитель департамента, заведующий отделом, управляющий делами. Исключение делается только для названий высших государственных должностей и титулов в официальных текстах, напр.: Президент Российской Федерации, Председатель Правительства РФ, Председатель Государственной думы, Премьер-министр Индии, Её Величество Королева Англии.