Слова отдел и отделение в приведенных случаях следует писать со строчной буквы.
Запятые лучше поставить. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Нет. Это стилистически нейтральное слово, входящее в состав русского литературного языка.
Как правило, термин идиома применяют к сочетаниям слов, а не к отдельным словам. А что Вы понимаете под идиомой?
Жителей Ленинградской области уместно назвать именно жителями Ленинградской области.
Жителей российского города Донецка (Ростовская обл.) тоже правильно называть дончане (как и жителей украинского Донецка). См.: И. Л. Городецкая, Е. А. Левашов. Русские названия жителей. Словарь-справочник. М., 2003.
Запятая не ставится.
Фундаментальная "Православная энциклопедия" фиксирует вариант с запятой.
Правилен первый вариант.