Слова по своему обыкновению обособляются: Мария Захарова, по своему обыкновению, за словом в карман не полезла.
Фраза корректна.
В значении «после приезда» правильно только: по приезде.
Бенефициар, по данным СМИ, Иванов В.В.
Корректно: в соответствии с чем-либо (действовать в соответствии с приказом).
В значении "после чего-либо": по приезде, по прибытии.
Слова зачем и ни за чем (низачем) не являются "грамматической парой". Зачем - слово с функциональностью союза, со значением цели. Низачем - ответная реплика в просторечии, в разговорной речи. Это слово можно написать слитно, по аналогии с незачем (=бесцельно) и нипочем, но, подчеркнем, относится оно только к разговорно-просторечной сфере, а значит, с трудом поддается "орфографической кодификации".
В значении по «после» верно: по окончании, по истечении.
