Название города склоняется: из Гулькевичей, к Гулькевичам, над Гулькевичами, в Гулькевичах. Это слово относится к склоняемым именам существительным, имеющим формы только множественного числа. Таковы же наименования (мои) Мытищи, (мои) Боровичи́, (мои) На́волоки и др. Не склоняются названия городов на -и иноязычного происхождения, обнаруживающие, как правило, принадлежность к единственному числу: (мой) Сочи, (мой) Кутаиси, (мой) Хельсинки и т. п.

Запятая и тире могут ставиться как единый знак и как сочетание знаков. Как единый знак запятая и тире возможны в сложном предложении, напр.: Даже вода взволновалась, – вот до чего взыгрались лягушки (Пришвин). Но чаще можно встретить сочетание запятой и тире, где каждый знак стоит на собственном основании, напр.: Важная задача, которую ставят перед собой организаторы олимпиады, – поддержать талантливую молодежь (запятая закрывает придаточное предложение, тире ставится между подлежащим и сказуемым).

Сочетания муниципальное образование и городской округ должны быть согласованы в падеже (иными словами, употребляться в одном и том же падеже), поскольку городской округ с точки зрения синтаксиса – это приложение. Ср.: птица иволга.  

Что касается кавычек и других знаков. Здесь возможны следующие варианты оформления:

• муниципальное образование – городской округ Усинск;
• муниципальное образование «Городской округ Усинск».

Причем при использовании кавычек заключенная в них часть названия не будет склоняться: администрация муниципального образования «Городской округ Усинск».

Мужская фамилия Рудик склоняется, женская – нет. Такова грамматическая норма русского языка: склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих); все женские фамилии, оканчивающиеся  на согласный, несклоняемы.

«Сейчас можно что угодно просклонять и куда угодно ставить ударение» – на чём основано это Ваше утверждение? Есть нормы русского литературного языка, их никто не отменял, они зафиксированы в словарях и грамматиках, грамотный человек будет им следовать.

Таковы правила. Конструкция С легким паром – это пояснительный член предложения, т. е. представляющий собой второе наименование по отношению к первому. Если пояснительный член предложения присоединяется союзом или (в значении «то есть»), перед или ставится запятая. 

Если наименование художественного произведения состоит из двух названий, соединенных союзом или, то с прописной буквы пишется также первое слово второго названия, напр.: «Двенадцатая ночь, или Что угодно», «Ирония судьбы, или С легким паром».

Правило таково: в сочетаниях с приложением, если одна из частей в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, употребляется тире.

Правильно: врач-хирург, врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. (сочетания с приложением). Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то перед ней употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог. Аналогично: женщина-врач, но женщина – врач-хирург.

Правильно: по-нью-йоркски (ср.: по-социал-демократически, по-жюль-верновски).

Нет хорошей комбинации знаков препинания, чтобы без искажений передать на письме эту устную фразу (и это показывает, что письменная форма языка – не просто перекодировка устной речи, а особая подсистема языка со своими специфическими средствами выражения). Если поставить в конце точку, то предложение будет восприниматься как сложноподчиненное повествовательное. Если поставить знак вопроса, то предложение станет вопросительным в целом и приобретет странный смысл: говорящий спрашивает, забыл ли он чей-то номер.

Андрей, встречный вопрос: разве все в языке нужно однозначно регламентировать? Автор волен выбирать слова и синтаксические конструкции для своего высказывания; автор решает, какой вариант расстановки знаков препинания (из числа возможных, употребительных, нормативных, верных) соответствует его коммуникативной цели.

В приведенном Вами примере есть основания и для постановки запятой, и для отсутствия знака – то есть, нет собственно пунктуационной ошибки. Процитированный ответ "Справки" хотя и неуниверсален, но годен для большого числа контекстов.