Да, название написано правильно.
Корректно: ГБОУ «СОШ № 7 г. Сунжа им. С. Хашагульгова».
Мы уже отвечали на этот вопрос. См. 315366
Обычно не склоняются названия на -и: из Чили, Тбилиси, Нагасаки.
Вы включили в этот перечень совершенно разные с точки зрения грамматики названия. Осло, Торонто – иноязычные названия, они не склоняются. А вот Люблино, Бирюлёво, Орехово-Борисово – славянские топонимы, они всегда склонялись и продолжают склоняться. Подробнее о таких названиях см. здесь.
Да, название должно быть выделено, но достаточно одного способа выделения. Если Вы выбрали написание прописными, то кавычки уже не нужны. Если прописные убрать, нужно поставить кавычки: Нажмите кнопку «Система».
В таких заголовочных конструкциях запятая не нужна. См. также ответ на вопрос 311144.
Да, орфографически верно именно такое написание: площадь Святого Благоверного Князя Михаила Тверского, оно соответствует основному правилу написания географических и административно-территориальных названий. В состав названия могут входить слова, обозначающие титул, звание, профессию, должность и т. д., исключений для них не делается.
