Правильно: платок на рту.
Живем как на вулкане - без запятой (это фразеологизованное выражение). Живем, как на островах - с запятой.
Запятую нужно поставить, чтобы подчеркнуть уточняющий характер сочетания на рассвете.
Запятые нужны: Максимум, на что они способны, — это на кухонную философию.
Запятая не нужна, однако сочетание "задумывается на просьбу" некорректно.
Нет, неправильно.
Возможны варианты. Обстоятельственные обороты «несмотря на + существительное» обычно выделяются знаками препинания (запятыми). Но при тесной связи оборота со сказуемым (если смысл предложения: работы не просто продолжатся, а продолжатся именно вопреки трудностям) запятая не ставится.
Такая замена возможна в разговорной речи.
Верно: на протяжении.
Обстоятельственные обороты с предлогом несмотря на обычно обособляются: Несмотря на большие финансовые возможности, фирма не уделяет внимания...