При наличии противительных, разделительных или сопоставительных союзов между определениями существительное ставится в единственном числе: Во вложении направляю техническое задание с правками, которые выделены красным или зелёным маркером.

Если в ходе личного приема поступил вопрос, то верно поступившему, если поручение — поступившего.

Такое согласование неудачно. Лучше: все мультимедийные устройства.

В официальных названиях государств и государственных объединений все слова, кроме служебных, пишутся с прописной буквы: Сирийская Арабская Республика.

Это воспроизводимое выражение (поговорка), которое в принципе можно отнести к фразеологическим оборотам.

Правильно: на круги своя. В этом фразеологическом выражении (восходящем к Библии) сохраняется устаревшая форма мн. числа слова свой – своя (= совр. рус. свои) и устаревшее ударение круги (совр. рус. круги). В соответствующем месте Библии имеется в виду ветер, дующий сначала на юг, потом на север и затем вновь возвращающийся на то место, с которого он начинал дуть.

Правильно: с властью.

Извините, но контекст всё равно недостаточен. Выскажем предположение: [Нечто происходит] из века в век. Но всё ж — доколе [оно будет происходить]. 

Тире в предложении нужно. Оно однозначно показывает, что сочетание в России входит в состав подлежащего, а не сказуемого. Без тире восприятие предложения будет затруднено. Ваше предложение можно подвести под правило: тире перед сказуемым-прилагательным ставится при логическом или интонационном членении предложения (Д. Э. Розенталь. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 5, п. 10.1). Обратите внимание: стилистически предложение небезупречно, так как и группа подлежащего, и группа сказуемого заканчиваются сочетанием предлога в с существительным со значением места. Предложение можно перестроить: Российское озеро Байкал самое глубокое в мире.

Форма мн. ч. в настоящее время употребляется, приведенный Вами пример отвечает нормам литературного языка.