Не совсем понятно: Ваш вопрос о написании или склонении фамилии? Если об орфографии, то фамилия пишется так, как зафиксировано в документах ее носителя. Если о склонении, то фамилия Коровка должна склоняться (и мужская, и женская), например: памятник Павлу Коровке.
Это предложный падеж (не винительный).
Это окказиональное (авторское) слово, оно не фиксируется словарями.
Запятая не ставится.
Такое употребление возможно, хотя встречается нечасто. Подробнее см. в словаре "Управление в русском языке".
Винительный.
Правильно: Нет никого, кто бы не жалел об ушедшей юности.
Домой – наречие. Наречия не изменяются по падежам.
Корректно: августовских.
Отсутствие кавычек неправильно. Верно: Государственное учреждение образования «Школа № 33»; в дательном падеже: Государственному учреждению образования «Школа № 33».
