Грузинские фамилии, оканчивающиеся на -ия, склоняются по образцу имени Мария. Правильно в дательном падеже: Давиду Габескирии (ср.: Марии, России).

Правильно: в тридцать девять школ-интернатов.

Такая фамилия склоняется, если принадлежит мужчине: тетрадь Косорика Давида. 

Пожалуй, возможно мнемоническое правило о стилистической окраске глаголов, включающих компоненты класть и ложить: ложат только с приставками, а кладут без приставок. С помощью орфографического академического ресурса «Академос» несложно удостовериться в том, что правило работает. Так, по запросу *ложить выдаются только приставочные глаголы, и все они не имеют сниженной стилистической окраски (вложить(ся), возложить, выложить(ся) и т. д.); по запросу *класть выдаются глаголы без стилистической пометы класть, накласть, прозакласть и глаголы с пометой сниж. закласть и покласть. При этом очевидно, что глагол накласть находится на стилистической шкале ниже отметки «нейтральное», но не так низко, как закласть и покласть, и это отмечается толковыми словарями, в которых стилистическая характеристика дается более дифференцированно, чем в орфографических источниках (см., например, накласть). Глагол же прозакласть практически не употребляется. Таким образом, из глаголов с компонентом класть стилистически безупречен лишь бесприставочный класть. Но предложенное мнемоническое правило ограничено названными в нем глаголами, оно не охватывает слова с корнем -клад-: многие из них, такие как уклад, приклад, расклад, склад, складировать и др., стилистически нейтральны.

О мнемонических правилах можно прочитать здесь. 

Возможны оба варианта.

Запятая не нужна.

Разниться – общеупотребительный и стилистически нейтральный глагол, розниться – устаревший и просторечный. Важно помнить: ударение в глаголе разниться падает на первый слог, правильно: разниться (не разниться), мнения разнятся (не разнятся).

Оба варианта правильны.