Запятая не требуется.
Если сложносоставной топоним представляет собой русское или давно освоенное название, в косвенных падежных формах его первая часть должна склоняться. Правильно: из города Белгорода-Днестровска.
Пунктуация верна.
Правильно. Здесь нужно тире.
Правильно со строчной.
На Ваш вопрос нельзя ответить, не зная формальных и семантических характеристик наименования. Постановка кавычек зависит от многих факторов: графическая система, используемая для оформления названия (кириллица/латиница), наличие аббревиации в названии, наличие родового слова при наименовании, контекст, в котором употребляется название, и др.
Обособление не нужно.
Возможны варианты: многоязычная и многоязыкая (употребляется гораздо реже).
Лучше: прежнее название страховой компании "Х" или страховая компания "Y" (прежнее название "Х").
