Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует дефисное написание этого слова: поперечно-полосатый.
Верно: пресс-шайба. Сложные слова с первой частью пресс- пишутся через дефис.
Можно.
В данном случае возможно использование кавычек.
Предпочтительно: трек, в котором отметились друзья.
Верно: палермский.
Орфографический словарь
Правильно: самодвижущаяся повозка.
Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Оба варианта возможны.
