Лучше использовать форму единственного числа. Кроме того, рекомендуем заменить страдательный залог на действительный: Руководитель осуществляет надзор и контроль за деятельностью...

Причастие не замеченной следует писать раздельно. Но обратите внимание, что с точки зрения стилистики предложение лучше перестроить и использовать действительный залог вместо страдательного: Эксперты не могли не заметить работу рулевого нашей команды.

Глагол влазить есть в русском языке, но это просторечие, его лучше не употреблять (общеупотребительный вариант не влезает).

На этот вопрос в справочной литературе можно найти противоположные ответы. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано, что названия рек согласуются с родовым наименованием, и приведен пример между реками Обью и Енисеем. В то же время другие пособия указывают, что с географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: у реки Волги, но на реке Енисей.

На практике встречается как склонение, так и несклонение названий рек в подобных конструкциях, ср.: 

• Пространство между реками Доном и Непрядвой называлось Куликовым полем. С. Голицын. Сказания о земле Московской (1968-1988)
• Трудно было пробираться речными путями на Пясину, поэтому решили установить морскую связь между реками Енисей и Пясина. М. Белов. Мангазея (1969) 
• Пять тысяч лет назад такими «умными соседями» оказались жители двух речных долин — на Ниле (Египет) и между реками Тигр и Евфрат (Месопотамия). А. Алексеев. Из жизни древнего Египта // «Наука и жизнь», 2007

• Между реками Енисеем и Хатангой (в так называемом Енисей-Хатангском региональном прогибе) открыты газовые залежи, и специалисты прогнозируют наличие здесь нефти. Е. Сидорова. Притяжение Арктики // «Наука в России», 2012.

Таким образом, допустимы варианты, и окончательное решение в подобной ситуации — за автором (редактором) текста. Ошибки в любом случае не будет.

Отношения производности (словообразовательной мотивации) предполагают связь между семантикой производного и производящего слов.

В «Большом толковом словаре русского языка» С. А. Кузнецова слово бисеринка определяется как уменьшительно-ласкательное к бисерина, значение которого связано со словом бисер. Следовательно, словообразовательная цепочка выглядит таким образом: бисер → бисерина (-ин- — суффикс со значением единичности, ср.: бус-ин-а) → бисеринка (-к- — уменьшительно-ласкательный суффикс, ср.: птич-к-а). Ср.: бус-ы → бусина → бусинка. Таким образом, в словах типа бисер-ин-к-а выделяются два суффикса: суффикс единичности -ин- из производящего слова и уменьшительно-ласкательный суффикс -к-.

Расхождения в анализе морфемного состава слов типа бисеринка обычно возникают потому, что, кроме суффикса -ин- со значением единичности, есть суффикс -инк- с похожим, но не идентичным значением.

Суффикс единичности -ин- используется в трех моделях. Если производящим словом является собирательное существительное, слова с суффиксом -ин- обозначают одну частицу из совокупности: бисер-ин-а, горош-ин-а, виноград-ин-а, солом-ин-а и т. п. От вещественных существительных при помощи суффикса -ин- образуются слова, обозначающие один кусок этого вещества: льд-ин-а, холст-ин-а, рогож-ин-а и т. п. Слова, производные от названий парных предметов, называют одну из одинаковых частей этих предметов: лыж-ин-а, штан-ин-а, брюч-ин-а и т. п.

Существительные с суффиксом -инк- имеют значение ‘одна маленькая частица того, что названо собирательным существительным, обозначающим однородную массу’: икр-инк-а, пыл-инк-а, рос-инк-а и т. п. Бисер не обязательно однороден, а значение ‘очень мелкие, маленькие (бусинки)’ заложено в его корне, дублировать его в суффиксе нет необходимости. Поэтому выделять суффикс -инк- в данном значении в слове бисеринка некорректно.

Кроме того, существует уменьшительно-ласкательный суффикс -инк-, который встречается в незначительном количестве слов, например: троп-инк-а (← тропа), заноз-инк-а (← заноза) и т. п. Однако в этой модели производящие существительные не являются собирательными или вещественными, и отсутствует ступень с образованием существительного со значением единичности (нет слов *тропина, *занозина). Поэтому в них выделяется -инк- с уменьшительно-ласкательным значением, а в слове бисеринка уменьшительно-ласкательным является суффикс -к-.

Невозвратимый - это прилагательное.

Такое употребление вполне корректно. В приведенном Вами предложении форма прошедшего времени деепричастия подчеркивает, что обозначаемое им действие (полюбив) совершилось раньше, нежели действие, обозначенное глаголом в прошедшем времени (заботилась).

См. также рассуждения Д. Э. Розенталя по поводу относительности времени причастий (как и деепричастий): 

"Причастию, как глагольной форме, присущи значения времени, вида, залога.

1) Значение времени в причастии относительное: в одних случаях наблюдается соотносительность времен, выраженных причастием и глаголом-сказуемым, например: видел детей, играющих на  бульваре (видел в то время, когда они играли); в других случаях время, выраженное причастием, соотносится с моментом речи, предшествует ему, например: видел детей, игравших на бульваре. Ср.: а) В одной из комнат я нашел молодого парня, разбирающего за столом бумаги (В. Солоухин); б) В эту ночь, как нарочно, загорелись пустые сараи, принадлежавшие откупщикам (Герцен).

При прошедшем времени глагола-сказуемого причастие настоящего времени указывает на постоянный признак, причастие прошедшего времени – на временный признак. Например: Нас заинтересовал домик, стоящий на опушке леса (ср.: ...который стоит...). – Артем схватил тяжелый молот, стоявший у наковальни... (Н. Островский) (ср.: ...который стоял...).

Ср. также: На совещание прибыли все делегаты, за исключением двух, отсутствующих по болезни (совещание еще идет). – В работе совещания приняли участие все делегаты, за исключением двух, отсутствовавших по болезни (совещание уже закончилось).

Неточная форма времени причастия использована в предложении: «Работа была выполнена в течение пяти дней вместо предполагаемых шести» (предположение относится к прошлому, поэтому не подходит форма настоящего времени причастия предполагаемых; не подходит также форма предположенных, имеющая значение совершенного вида, тогда как по смыслу фразы нужно причастие несовершенного вида – от глагола предполагать, а не от предположить; правильная форма для данного случая –предполагавшихся). Наоборот, нужна форма настоящего, а не прошедшего времени причастия в предложении: «Существовавшее до сих пор положение ГОСТа уже не удовлетворяет возросшим требованиям» (если оно не удовлетворяет, то, значит, оно еще существует, поэтому следовало сказать: Существующее до сих пор положение...).

Различие между сочетаниями книга издана и книга была издана заключается не в большей или меньшей отдаленности во времени (ср.: книга была издана в прошлом году – книга издана в XVII веке, где связка была отнюдь не вносит значения большей давности), а в том, что при отсутствии связки имеется в виду наличие результата в настоящем, при наличии связки – отнесение результата к прошлому; ср.: «Мертвые души» написаны Гоголем. – Второй том «Мертвых душ» был написан Гоголем (но сожжен);«Евгений Онегин» написан Пушкиным. – Десятая глава «Евгения Онегина» была написана Пушкиным (но не издана).

Воспользуйтесь электронными словарями на нашем портале. Напоминаем, что в окне "Проверка слова" нужно вводить слово в начальной форме (для существительных - ед. ч. им. п., для глаголов - форма инфинитива).

Оба варианта верны.