Написание Министерство здравоохранения соответствует правилу: с прописной буквы пишется первое слово в официальном названии учреждения, организации, предприятия. Функция прописной буквы – не придать «важность» слову, а маркировать имя собственное.
С днем рождения - общеупотребительный вариант. С днем рожденья - разговорный.
Правильно: начинаться с чего-либо: начинается с деятельности.
Не пишется слитно с существительными при отсутствии противопоставления: с учетом непревышения бюджета.
Это неудачное сочетание. Корректно: впитывается с детства или впитывается с молоком матери.
Слово храм пишется строчными буквами. В особом (высоком) стилистическом употреблении это слово может быть написано с прописной буквы.
Правильно: бутерброд с фетой, бутерброд с сыром фета.