Правильно: Царицыном.
Для обозначения веков обычно используются римские цифры: в XIII веке. При написании арабскими цифрами нужно наращение: в 13-м веке, в 13-м.
Ошибки нет.
Верно: во Вроцлав.
Да, склонение обязательно, но возможны варианты: Р., В. – Билеца и Бильца, Д. – Билецу и Бильцу, Т. – Билецем и Бильцем, П. – о Билеце и о Бильце.
Для точного ответа нужно знать все предложение. Скорее всего, будет верен вариант из ремфонда, например: Взять из ремфонда.
В д.п. - Головой (при наличии соответствующей мужской фамилии Голов).
В этих формах слово Москва не употребляется.
Обе формы верны, выбор зависит от контекста.
Верно: заключения договоров. Но лучше перестроить предложение, чтобы избежать нанизывания родительных падежей: ...с целью выяснения обстоятельств, при которых были заключены договоры.
