Верны оба варианта: научные стажировки за рубежом и зарубежные научные стажировки. Если мы не вполне поняли Ваш вопрос, пожалуйста, уточните его.
Запятая перед и не нужна.
Запятая не нужна, поскольку здесь нет сравнительного оборота (нет понятий, которые сравниваются). Ср.: Не просто ткани.
Корректно: самых достойных студентов мы рекомендуем для прохождения практики в общественном объединении.
Лучше: в образовательном органе.
Мы не выполняем домашние задания.
Верно: мы лежим, грустим... В смысле "завтра наступил"?
Запятая не ставится (части сложносочиненного предложения объединены вопросительной интонацией).
Изменяется по числам только первое слово: сорт сыра - разные сорта сыра; сорт грибов - разные сорта грибов.
Верно: мастером... отобравшим.
Мы рекомендуем разделить это предложение на два или переформулировать его так, чтобы причастные обороты не следовали один за другим.