Корректно: вейп. Не в начале корня после согласного буква э пишется лишь в очень немногих словах (рэп, мэр, мэтр, сэр, пэр и некоторых других). Это именно исключения, расширение списка слов с э не соответствовало бы закономерностям русской орфографии.
Что касается второго слова, здесь сложно дать однозначную рекомендацию, т. к. единого правила нет. Одни новые иноязычные заимствования закрепляются в слитном написании, другие – в дефисном. Надо подождать, пока слово освоится языком. Пока можно сказать, что сложные существительные с первой частью, самостоятельно употребляющейся, и второй, самостоятельно не употребляющейся, чаще пишутся слитно, хотя из этого правила есть много исключений. Поэтому предпочтительный вариант: боксмод.
Словари отмечают врать как разговорное слово. Лгать и обманывать - стилистически нейтральные варианты. Вы можете обратиться к любому нормативному толковому словарю русского литературного языка, изданному в последнее десятилетие.
Нет точных критериев отнесения слов к неологизмам (ими могут быть, например: отсутствие слова в словарях, колебания грамматических и орфографических норм, определенное десятилетие фиксации слова, его активизация в речи в последнее время и т. д.). У каждого исследователя неологизмов будет свой ответ на Ваш вопрос. Вы можете ответить на него самостоятельно, дав свое определение неологизму или последовав одному из имеющихся определений.
Слово еще не зафиксировано орфографическими словарями. В ожидании словарной фиксации можно рекомендовать слитное написание. Оно соответствует правилу: сложные существительные с первой частью, иноязычной по происхождению, оканчивающейся на гласную и самостоятельно не употребляющейся, пишутся слитно. Нужно отметить, что боди в значении 'тело' (как в составе слова бодипозитив) еще не стало самостоятельным словом в русском языке. Слово боди активно употребляется в значении 'одежда, напоминающая купальник или гимнастический костюм'.
По правилу требуется дефисное написание. Однако следует все же причислить это слово к исключениям, поскольку элемент *хук самостоятельно не употребляется: вебхук (как веблог).
Закрепившийся вариант: Пьера Огюста Ренуара (раздельно в связи с тем, что имя Огюст употребляется самостоятельно в сочетании с фамилией).
В качестве ответа на Ваш вопрос публикуем рассуждения о написании частей экс, лже, псевдо консультанта нашего портала, члена Орфографической комиссии РАН С. В. Друговейко-Должанской.
Вопрос действительно непростой.
В номинации лже доктор наук элемент лже относится именно к сочетанию слов доктор наук (лже-доктор означало бы иное: лже-врач). Так и в случаях, когда часть экс- присоединяется к словосочетанию (например, генеральный директор, главный врач), корректно только раздельное написание: экс генеральный директор, экс главный врач.
В случаях же типа экс(-)президент ЮАР, экс(-)начальник станции, экс(-)директор радио, экс(-)глава ЦРУ, экс(-)главврач больницы и т. п. весьма трудно определить, относится часть экс- лишь к первому слову или ко всему сочетанию. Отсюда возникает и разнобой в написании подобных сочетаний. См., например, в практике печати:
- Подробный анализ документов, скомпонованных из известных утечек от экс сотрудника ЦРУ и АНБ Эдварда Сноудена, был опубликован в парижской газете Le Monde с жесткой редакционной статьей. [Олег Шевцов, Париж. Обама пообещал французам пересмотреть методы прослушки // Известия, 2013.10.22];
- На запрос "Труда" в СБУ о возможной причастности работников спецслужб к предполагаемым преступлениям, нам ответили: "Экс-сотрудники КГБ СССР к происходящему отношения не имеют". [Прокопчук Станислав соб. корр. 'Труда'. У АСПИРАНТА РАЗЫГРАЛОСЬ ВООБРАЖЕНИЕ // Труд-7, 2002.07.31]
На наш взгляд, при выборе дефисного либо раздельного написания исходить следует из того, возможно ли самостоятельное употребление слов с элементами типа экс-, псевдо-, лже- и т. п. без последующего дополнения. Номинации экс-президент, экс-начальник, экс-директор, экс-глава, экс-главврач имеют вполне самостоятельное содержание (тогда как, например, вычленить из сочетания псевдо произведение искусства отдельное слово *псевдопроизведение совершенно невозможно). Поэтому в таких случаях мы бы рекомендовали дефисное написание.
Разница в том, что сочетание "экс-президент" понятно само по себе (может употребляться самостоятельно), а "псевдо произведение" - нет.
Следует писать через дефис: экс-президент Израиля (т. к. сочетание экс-президент употребляется самостоятельно).
Сочетание "факт наличия уважительной причины неявки" корректно для канцелярской речи.
