Для слоговых аббревиатур, оканчивающихся на согласный, согласование в мужском роде при наличии опорного слова иного рода (среднего, женского) - частое явление. Ср., например: МИД, ТАСС.
См. «Непростые слова».
Лучше написать "из управления".
Запятые не нужны. Не обособляется деепричастный оборот, если перед ним стоит усилительная частица и.
Возможны те и другие сочетания в зависимости от контекста. Например: возьми из ящика, возьми в другой комнате.
Запятая ставится по усмотрению автора (если считать полностью цифровая пояснением, то запятая ставится).
Корректно: отдел внешних коммуникаций и управления карьерой.
Как правило, пишутся с прописной названия самостоятельных подразделений органов власти и иных государственных органов. Названия комитетов, департаментов, отделов и т.д. в составе этих подразделений пишутся со строчной буквы.
