Написание без кавычек правильно: монастырь Коренная пустынь.
Верно: патентнопригодный. Следует опираться на правило, предписывающее писать слитно прилагательные, образованные из основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер.
Должен получить одну тысячу четыреста двадцать три рубля двадцать копеек.
Здесь правильно слитное написание втайне.
Следует писать раздельно (в значении "точно так же"): Я продолжаю жить так же нерадиво и беспечно.
Верно слитное написание.
Склоняются обе части: до эмиграции примы-балерины.
Правильно раздельное написание: Не смолкавшие ни на минуту раскаты грома.
В текстах российских СМИ могут употребляться как оригинальные, так и транслитерированные наименования (в зависимости от того, какие наименования лучше воспринимаются читателями).
