В перечисленных Вами случаях верным будет слитное написание, если нет противопоставления.
Корректно: не брать на себя ответственность за...
Верно: Чего только не узнаешь на форуме!
Выражению посвящена статья Е. Мельниковой «Мне это откликается: новое управление?» в свежем номере журнала «Русская речь». Более подробного ответа на Ваш вопрос не найти. Автор пишет: «Рассмотренная конструкция представлена главным образом в разговорной речи. Новое значение глагола откликаться и его новое управление не фиксируются нормативными словарями. Результаты влияния разговорной речи на литературный язык, по мнению Л. П. Крысина, „нередко ... оцениваются как нарушение традиционной синтаксической нормы, но в них можно видеть и зарождение неких новых тенденций в построении высказывания“».
Мы не выполняем домашние задания.
Без контекста ответить на этот вопрос невозможно. Не с краткими прилагательными может писаться как слитно (если признак утверждается), так и раздельно (если подчеркивается отрицание).
Корректно: возможность не только необязательна, но и обязательна; она необязательна в том случае...; такая позиция является небесспорной.
Верно: в День города.
