Предпочтительно заключить это название в кавычки.
Нужно лишь в том случае, если это собственное наименование.
Мы уже ответили на Ваш вопрос.
Правильно: Отдел внешних церковных связей Московского патриархата.
Написание определяется произношением, установившимся в русском языке.
Да, склоняется.
В сложных словах с первой частью гетеро- основное ударение падает на вторую часть слова. На первую часть гетеро- падает дополнительное ударение, и в большинстве случаев возможны варианты гетеро- и гетеро-: гетерогенез и гетерогенез, гетерогамия и гетерогамия.
Предпочтительно: сморит, но «Большой орфоэпический словарь русского языка» М. Л. Каленчук, Л. Л. Касаткина, Р. Ф. Касаткиной (М., 2012) допускает ударение сморит (как младшую норму). Тем не менее эту строчку трудно признать корректной, т. к. по-русски говорят сон сморил кого-либо и не говорят сон сморил чьи-либо глаза.
