Да, в непринужденной разговорной речи такие обороты вполне возможны.
У слова что есть значение 'который', и такое употребление очень распространено в художественной литературе. Вариант демоны, что живут в каждом вовсе не является менее правильным, чем демоны, живущие в каждом или демоны, которые живут в каждом. Не очень понятно, почему Вы заподозрили, что это новое правило: подобные конструкции в изобилии встречаются в русской классике. Например: Старый дуб, что посажен отцом. Некрасов. Где насекомые, что так разнообразно жужжали в траве? Гончаров. Вот подарок тебе, что давно посулил. А. Кольцов. Не из тех ли только он бездушных, что в столице много встретишь ты? Некрасов. Спой мне песню ту, что пел ты в хате лесника. Полонский.
Корректно: за понимание.
Запятые поставлены корректно. Предложение я тебе скажу здесь вводное, употребленное с целью подчеркнуть правдивость высказывания, доверительное отношение к собеседнику.
Да, запятая нужна: Напиши мне, что тебе надо.
Да, ставится запятая перед И.
По основному правилу после я знак препинания не требуется. Однако можно поставить интонационное тире.
Языковых ошибок нет.
Запятая перед что нужна.
