Составные числительные, заканчивающиеся на два, три, четыре, в именительном-винительном падеже не сочетаются с существительными, имеющими формы только множественного числа. Придется перестроить предложение, например, так: есть ворота в количестве 62 (шестидесяти двух) штук. Подробнее о проблеме сочетаемости можно прочитать в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (§ 166, п. 3).
Указанная запятая нужна.
Правильно.
Возможны оба варианта, нужно руководствоваться контекстом.
Первое слово официального названия пишется с большой буквы: Министерство образования и науки Амурской области.
В качестве устойчивого выражения используется второй вариант.
Корректно без запятых в обоих случаях.
Устойчивое сочетание: мозговой штурм.
