Вариант Иначе не ошибка, это старшая норма, уходящий вариант. Возможно, Вашего преподавателя так учили говорить в школе, возможно, так говорили в его семье старшие родственники. В современном русском языке предпочтительно: инАче.
Эти названия во множественном числе следует писать с маленькой буквы: ...будут выбирать депутатов в законодательные собрания и городские думы.
Верно: цирк шапито.
Правильно: сочинской зимней Олимпиады, сочинской Олимпиады.
Верно: Буду ждать определения суда (родительный падеж).
Рубрики перечня, расположенные после двоеточия, начинаются со строчной буквы (с красной строки).
Да, эта фамилия славянского происхождения. О ней в свое время рассказывала А. В. Суперанская.
Фамилия Римша склоняется (и мужская, и женская). А место ударения в фамилии определяет ее носитель.
