Выбор числовой формы сказуемого определяется грамматическими признаками предложения. Если перевести цифровые символы в словесные обозначения, то получается: шестьдесят один процент компаний назвал главную проблему... Другой вариант сказуемого при таком подлежащем (шестьдесят один процент компаний) едва ли бесспорно объясним. Но стоит обратить внимание на смысловой «конфликт» предложения: сказуемое назвал главную проблему характеризует шестьдесят один процент. Возникает логичный вопрос: каким образом проценты могут назвать главную проблему?
Верно: проведено 24 детских мероприятия.
Запятая не ставится.
См. также: http://new.gramota.ru//spravka/punctum?layout=item&id=58_415
Корректно: в одном центре из двадцати одного.
Запятые уместны: слова 21 сентября обособляются как пояснение.
Предложение составлено верно.
Правильно: В конкурсе приняла участие 21 команда.
Возможно параллельное употребление двоеточия и тире.
Здесь верно: госпитализированный.
