Да, тип связи в этом словосочетании — управление.
Федеральное космическое агентство и Роскосмос раньше были двумя названиями одной организации, поэтому предложенное Вами сочетание некорректно. Сейчас организация, преобразованная из Федерального космического агентства (Роскосмоса), называется Государственная корпорация по космической деятельности «Роскосмос».
Мягкий знак не произносится.
Это можно выяснить при помощи наших электронных словарей.
Корректно: за понимание.
Употребительная формулировка: контроль за исполнением.
Правильно: по выздоровлении (=после выздоровления).
Верны оба варианта.
Возможные варианты: Она часто задавалась вопросом: за что? и Она часто задавалась вопросом: «За что?»
Такой перенос корректен. Правила см. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
