Правильно строчными: одного из уфимских вузов.
На официальном сайте компании название склоняется. Корректно: страховка «Ингосстраха».
Корректно: из озера Байкал.
Правильно: от 20. Наращение при количественных числительных не используется.
Эта аббревиатура склоняется. Правильно: лечиться от СПИДа.
Верно: из Нидерландов.
Открыл - один раз, успешно. Открывал - либо многократно (открывал каждый день, например), либо о незаконченном действии (открывал упорно, пользуясь отверткой и молотком).
Правильно: фото из Интернета.
Возможны оба варианта. При наличии паузы можно поставить интонационное тире. Выбор за автором.
Правильно: в такси, следовавшем из Москвы (предложный падеж: в такси каком?). Ср.: с такси, следовавшим из Москвы (творительный падеж: с такси каким?).
