Постановка тире не требуется.
Поставленная запятая необходима.
Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.
Такая фраза возможна.
В значении предлога возможно только слитное написание (согласно «Русскому орфографическому словарю РАН», в котором приводится пример невзирая на лица).
Корректно: Болельщики "Мишлен", как двенадцатый игрок, на трибуне участвовали в соревнованиях.
Верны оба варианта: на счете и на счету. Выбор за Вами.
К сожалению, это невозможно, поскольку правила правописания описывают только те случаи, когда НУЖНО ставить знак препинания. Обратные случаи (отрицательный материал), как правило, не рассматриваются.
Кавычки могут быть поставлены по усмотрению автора текста.
Верно: в День города.
