Скорее всего, просто неудачное название. Кстати, слово фитнес пишется с одной буквой С на конце слова.
Точка ставится после кавычек, цитата оформлена верно.
Список употребительных сокращений есть в приложении к "Русскому орфографическому словарю" под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (М., 2012). Сокращения з/п в этом списке нет.
В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».
В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.
Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.
Выражение вместе с тем не требует постановки знаков препинания.
Запятые не нужны, нет оснований для их постановки.
Указанная запятая не ставится.
Верное написание: Мы там, где жарко!
Допускается постановка тире после мы: Мы — там, где жарко!
Это сложное предложение, и в указанных местах запятые нужны.
Дом из дерева - верный ответ.