Не совсем понятно: Ваш вопрос о написании или склонении фамилии? Если об орфографии, то фамилия пишется так, как зафиксировано в документах ее носителя. Если о склонении, то фамилия Коровка должна склоняться (и мужская, и женская), например: памятник Павлу Коровке.
Правильно: наставник (кого?) молодых специалистов. Но возможен контекст и с дательным падежом. Ср.: слуга царю, отец солдатам, наставник молодым специалистам.
Эту фамилию нужно склонять.
Это предложный падеж (не винительный).
Запятая не ставится.
Такое употребление возможно, хотя встречается нечасто. Подробнее см. в словаре "Управление в русском языке".
Винительный.
Правильно: Нет никого, кто бы не жалел об ушедшей юности.
Домой – наречие. Наречия не изменяются по падежам.
Корректно: августовских.
