Словосочетания тавтологичны, но при этом сравнительно часто используются в профессиональной речи в качестве точных и удобных обозначений части тела и предмета, предназначенного для этой части тела. Обратимся к примерам: нагрузка на суставы и поясничный пояс; упражнения, разогревающие поясничный пояс и стопы; укрепить плечевой и поясничный пояс; носить поясничный пояс, зафиксировать с помощью ортопедического поясничного пояса, согревающий пояс для поясницы.

Слово плательщик  образовано от глагола платить  с помощью суффикса -льщик. В подавляющем большинстве случаев конечная гласная основы инфинитива сохраняется перед этим суффиксом: болеть – болельщик, вязать – вязальщик, носить – носильщик. Однако в некоторых словах происходит изменение гласных (говоря сухим научным языком –  мена гласных финалей исходной основы), при этом в двух словах – образованиях от глаголов платить и молиться – происходит мена И – Е: платить – плательщик, молиться – молельщик. Таковы хитросплетения русской грамматики.

Воспользуйтесь, пожалуйста, «Справочником по пунктуации».

Чередование о // а регулярно происходит в корнях глаголов при присоединении к ним суффикса -ива/-ыва (со значением длительного или регулярно повторяющегося действия): ходить/хаживать, носить/нашивать и т. п. Однако из этого правила есть исключения. Например, для пары оспоривать/оспаривать еще в первой половине XIX века был нормативен только первый вариант ("Хвалу и клевету приемли равнодушно / И не оспоривай глупца”, А. С. Пушкин). Сегодня нормативны только варианты приурочивать, уполномочивать, подытоживать, просрочивать, узаконивать, упрочивать.

Чередование т // ч также относится к историческим, оно происходило под влиянием звука [j], например: свет > свет + ja > свеча.

Корректно: 1) Рыба фугу сама по себе опасный продукт; 2) Носить обувь на босу ногу; 3) Чтение; 4) Алло — междометие: Алло, это Мария Петровна? и Алло! Это Мария Петровна? 5) Никто из вас мне не указ. Подлежащее — никто, сказуемое — не указ; ? 6) Его мозг работает как часы; 7) Глагол вырвать, безл., в значении "стошнить" (Ребенка вырвало) носит разговорный характер; 8) Название и наименование — синонимы. Чтобы узнать их конкретные значения, воспользуйтесь словарями, размещенными на нашем портале; 9) Ни забот и ни хлопот.  

Пожалуйста, не втискивайте несколько разных вопросов в одно письмо. 

Правильно: ростовая кукла. Прилагательное ростовой внесено в список исключений. См., например: 

рос(т) — рас(т) — ращ. На месте безударного гласного пишется: а) перед с (без последующего т) — буква о: росла´, росли´, вы´рос, вы´росший, за´росль, по´росль, во´доросль, не´доросль; исключение — о´трасль и производные от него (отраслево´й, межотраслево´й, многоотраслево´й); б) перед ст — буква а, напр.: расти´, расту´, расти´ть, подрасти´, вы´расти, вы´растить, вы´расту, выраста´ть, прораста´ть, произраста´ть, нараста´ть, возрасти´, возраста´ть, во´зраст, расте´ние, расти´тельность, дикорасту´щий; исключения: росто´к, ростово´й, ростовщи´к, вы´рост, выростно´й, вы´росток, за´росток, про´рость, подростко´вый (наряду с вариантом подро´стковый); в) перед щ всегда а, напр.: ращу´, вы´ращу, вы´ращенный, прираща´ть, нараще´ние, сраще´ние. Под ударением перед с (с последующим т и без него) — только о, напр.: рост, наро´ст, отро´сток, подро´сток, переро´сток; рос, заро´с, подро´сший, ро´слый, дикоро´сы.

(https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/osobennosti-napisaniya-otdelnykh-korney). 

Вероятно, дело в том, что до массового появления ростовых кукол прилагательное ростовой было малоизвестным, вот его и не включали в школе в список исключений.

Да, сохраняются.

Современные нормативные словари в большинстве своем указывают, что слово кофе, употребляемое как существительное среднего рода (моё горячее кофе), стилистически не нейтрально, эта форма сопровождается пометой разг. (разговорное). При этом кофе — едва ли не единственное несклоняемое заимствование на -е (из тех, что не не обозначают живых существ), которое принадлежит мужскому роду, так что переход этого слова в средний род практически неизбежен. Кроме того, даже в ХIХ веке употребление слова кофе как существительного среднего рода не было такой уж редкостью. См., например: ...молодой моряк очень рассеянно отвечал на вопросы и шутки хозяина; но, к счастью, тот, прихлебывая звездистое кофе, дымя трубкою и пробегая листок купеческой газеты, мало обращал внимания на все, что не носило на себе вида нумерации [А. А. Бестужев-Марлинский. Лейтенант Белозор (1830)]; Появилось кофе в серебряном кофейнике, а за ним вышла красивая мамка в голубом кокошнике с маленьким Вадимом на руках [Д. Н. Мамин-Сибиряк. Приваловские миллионы (1883)].

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.