Новый год пишется с прописной только как название праздника. В значении 'наступающий год; следующий год' правильно написание со строчной: Успехов в новом году!
Можно передать такое значение и при помощи кавычек.
Возможны варианты:
Или есть те, кому безразличен праздник, и они сидят дома?
Или есть те, кому безразличен праздник и кто сидит дома?
В орфографическом словаре: Медовый Спас (праздник).
Слово день тут ни при чем. Непроизносимый согласный в словах праздник, праздничный можно проверить краткой формой исторически родственного им прилагательного праздный 'не занятый делом, работой': празден. Но в школьной практике праздник чаще дается как словарное.
Корректно: день Великой Октябрьской социалистической революции.
Возможны оба варианта в зависимости от интонации. Выбирает автор.
Корректно написание со строчной (маленькой) буквы: с новым учебным годом.
