Первая Н - в основе глагола чинить (в корне), вторая - в основе прилагательного.

Ряд прилагательных, образованных от  словосочетаний с глаголами варить, курить и топить с помощью суффикса ЕНН (мыловаренный, клееваренный, пивоваренный, винокуренный, смолокуренный, салотопенный, жиротопенный), пишется с двумя Н.

Слово сгущенный в обоих случаях нужно писать с двумя буквами Н. Написание с одной Н - орфографическая ошибка.

Удвоенная Н полных прилагательных сохраняется и в кратких прилагательных. Однако в кратком прилагательном в форме ед. ч. м. р. писать две Н на конце слова не принято.

Запятая нужна. Также обратите внимание на обозначение периода в скобках: Гиппократ (460—370 гг. до н. э.), известный.. 

Правильнее говорить, что не в слове финн появилась вторая буква н, а что в словах Финляндия, финский вторая н пропала. Слова Финляндия и финский — исключения, двойные согласные в этих словах упрощаются. Среди других исключений: кристальный, кристален (хотя кристалл), акапельный, акапельно (хотя а капелла), оперетка, опереточный (хотя оперетта), будёновка (от Будённый).

Рекомендации по употреблению слов до н. э. и н. э. можно найти в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой. Они таковы:

«Если факт относится ко времени до исход ного (начального) момента принятого у нас летосчисления, рядом с датой требуется ставить слова до н. э. (до нашей эры). Во избежание путаницы рекомендуется даты первых лет (веков) нашей эры сопровождать словами н. э. (нашей эры). Напр.: 26 февр. 747 г. до н. э.; 29 авг. 284 г. н. э.; III в. до н. э.; II в. н. э.».

Как мы видим, это именно рекомендация, причем несколько расплывчатая: «даты первых лет (веков)». Видимо, окончательное решение остается за автором текста. Полагаем, что как минимум в первых двух приведенных Вами примерах слова н. э. будут уместны: Он родился в 10 г. н. э. Прожив долгую жизнь, он умер в 88 г. н. э.