Правильно: действующего. В письменной деловой речи принята норма согласования с названием должности – директор (безотносительно к полу).
Правильно: директора Петровой, действующего...
Верно: действующего.
Первый вариант предпочтителен.
Это неудачное сочетание. Мегаполис – чрезвычайно большой город; город-гигант (получается, что «московский мегаполис» – это «московский большой город»). Можно сказать наш мегаполис; Москва представляет собой мегаполис и т. д.
Предпочтительно: Магазин «Апельсин» на Московском проспекте. Предлог по вносит значение распространения действия по всей территории, например: в домах по Московскому проспекту отключили горячую воду.
Корректно: органы гостехнадзора, но инспекция Гостехнадзора Московской области. Во втором случае представлено офифициальное наименование.
Верно: в лице директора Мачехиной Т. Ю., действующего на основании Устава.
Можно сказать: следовать уставу, выполнять требования устава.
