Да, это пары родственных слов.
Выражение на голубом глазу – усечённая форма фразеологизма врать на голубом глазу – врать не краснея. В основе этого выражения, вероятно, лежит представление о "ясности" взгляда, честности говорящего.
Запятая нужна.
Увы, затрудняемся с ответом.
Верно: ...города Москвы.
Правильно: глава администрации Вологодской области.
Знаки препинания стоят верно.
Запятые нужны: Вика, как всегда, закатила глаза, а он ничего...
Нет, употребление слова цвет здесь излишне, нормативны конструкции с прилагательным без слова цвет: карие, серые, голубые глаза. Конструкция глаза какого-либо цвета возможна при образном определении, «необычности» цвета, ср.: глаза цвета неба, глаза цвета морской волны, также (у В. Ободзинского): Эти глаза напротив, чайного цвета...
