Правильно: заведующий терапевтическим отделением, вуз подготовил специалистов.
Да, согласный с в слове костяника – мягкий. См.: Орфоэпический словарь русского языка / Под ред. Р. И. Аванесова. – 8-е изд., стереотип. – М., 2000.
Запятая нужна.
Корректно: неунывающие, не опускающие рук. В первом случае зависимых слов нет, поэтому написание слитное. Во втором – есть зависимое слово, поэтому не следует писать раздельно.
См. пособие Е. И. Литневской (таблица в разделе «Глухие и звонкие согласные звуки»).
Сочетание не покладая рук фразеологическое и не требует обособления. Впрочем, возможно и установление отношений уточнения между обстоятельствами хорошо и не покладая рук (=без устали, непрерывно) — в таком случае запятая нужна.
Корректно: че[с’]ть; ли[с’]тья.
В слове шесть буква с обозначает глухой мягкий согласный [c'] — это легко определяется на слух. Буква с обозначает звонкий согласный [з] перед следующими звонкими парными согласными: б (сбой), г (сгинуть), д (сдать), з (сзади).
В слове Господь предпочтительно произнесение [г]осподь и допустимо [ɣ]осподь (с фрикативным г). В междометии господи предпочтительно произнесение [ɣ]осподи и допустимо [г]осподи (это младшая норма). Слово Бог произносится [бох]. См.: Каленчук М. Л., Касаткин Л. Л., Касаткина Р. Ф. Большой орфоэпический словарь русского языка. М., 2012.
