Корень приведенных Вами слов — скворч-. В этом корне ч чередуется с ц и появляется беглый гласный е, ср.: скворец, скворечник. От слова скворец образуется существительное скворушка (суффикс -ушк-), при этом сочетание ец, которое является суффиксом только исторически, усекается. Об истории слова скворец можно прочитать в статье «Большого универсального словаря русского языка» под ред. В. В. Морковкина. Обратите внимание: слово скворчонок пишется с гласной о.

Запятая нужна. Пропуск запятой при двукратном повторении союза возможен только в случае употребления союза и (например: Кругом было и светло и зелено); в сочетаниях с союзом ни... ни... запятая не ставится только тогда, когда сочетание фразеологическое: ни то ни сё, ни себе ни людям и т. п. См. об этом параграф 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Обычно безударные гласные перед -ть в глаголах не проверяют, а пишут по памяти. Ошибки встречаются редко, чаще в немногочисленных глаголах на -ять (таять, веять, сеять и др.), -еть (выздороветь, шелудиветь и др.), в парах типа обессилеть — обессилить. Однако правила выбора гласной в глаголах перед -ть есть, оно включено в полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Электронную версию можно найти здесь. 

Здесь необходимы ещё две запятые: Вас любим, и помним, и ценим, скорбя. В параграфе 26 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина указано: «При отсутствии союза и перед первым из перечисляющихся членов предложения соблюдается правило: если однородных членов предложения больше двух и союз и повторяется хотя бы дважды, запятая ставится между всеми однородными членами (в том числе и перед первым и)».

Этот словарь составляла Т. Ф. Ефремова. Подобные значения зафиксированы и в «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова. В нём приводятся такие примеры: Зыбь на озере. Зыбь осеннего поля. Рожь подёрнулась зыбью. Смиренный парус рыбарей... Скользит отважно средь зыбей (А. С. Пушкин).

Как видите, точка зрения авторов словарей подкреплена примерами в том числе из русской классической литературы, поэтому к мнению авторов следует прислушаться.

Формулировка девиза представляет собой бессоюзное сложное предложение. Параллелизм строения частей позволяет увидеть в нем сопоставительные отношения, действительно выражаемые с помощью тире (см. пункт 1 параграфа 130 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Заметим, однако, что сказуемые вечно и бесконечно синонимичны (сравним словарное толкование прилагательного вечный: «бесконечный по времени»), то есть лексический состав частей не предполагает сопоставления.

В этом бессоюзном сложном предложении поставлена запятая и тире как единый знак — такая пунктуация довольно часто встречалась в произведениях писателей прошлого. Это отмечено в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), в примечании 1 к параграфу 130. Здесь же указано, что «знак этот в настоящее время утрачивает свою активность».

Между нарицательными именами существительными, сочетание которых выполняет определительную функцию при имени существительном (в данном случе цикл), ставится тире: система человек — машина; отношения учитель — ученик; проблема производство — человек — природа (см. параграф 20 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Добавим, что подобные сочетания не требуется заключать в кавычки: цикл рождение — жизнь — смерть.

Обособление нужно: деепричастный оборот, находящийся после союза или союзного слова, отделяется от него запятой (союзы не включаются в деепричастный оборот). Правило приведено в параграфе 68 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Об обособлении деепричастного оборота после союза в начале предложения см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 20.2.

Обледенелый — отглагольное прилагательное, образованное от обледенеть. В «Правилах русской орфографии и пунктуации» (§ 63) под ред. В. В. Лопатина говорится: «Приобретение какого-нибудь признака, переход в другое состояние выражается также в непереходных глаголах I спряжения на -ене́ть, в которых безударный гласный перед н передается буквой е: леденеть, костенеть, деревенеть, коченеть, травенеть, торфенеть, окровенеть, остекленеть, остервенеть, остолбенеть, оцепенеть». Исключением является глагол багрянеть.