Такого фразеологического оборота не существует.
Верно: ничтоже сумняшеся или сумняся. Это выражение означает "ничуть не сомневаясь" или (иронически) "не подумав, не размышляя предварительно".
Я буду убеждаться.
Стилистически эта фраза небезупречна.
К сожалению, такой контекст предложить затруднительно. Попробуйте заменить "обрыв" на "пропасть".
Это выражение пишется строчными буквами.
Да, это выражение плеонастично, хотя его использование, как правило, не представляет собой речевой ошибки.
Устойчивое выражение: истина (не мнение) в последней инстанции.
Знакомство с этим фразеологизмом лучше всего начать с басни Ивана Андреевича Крылова "Лисица и виноград":
Голодная кума Лиса залезла в сад,
В нем винограду кисти рделись.
У кумушки глаза и зубы разгорелись;
А кисти сочные как яхонты горят;
Лишь то беда, висят они высоко:
Отколь и как она к ним ни зайдет,
Хоть видит око,
Да зуб неймет.
Пробившись попусту час целой,
Пошла и говорит с досадою: "Ну, что ж!
На взгляд-то он хорош,
Да зелен - ягодки нет зрелой:
Тотчас оскомину набьешь".
Галина, Вам достаточно подробно ответили на форуме нашего портала. Остальное - Ваша исследовательская работа.