Да, нужно склонять.
Оба варианта верны.
Корректен вариант без тире. Остальное верно.
Нет, это существительное с предлогом в. Одним из значений слова область является 'место расположения какого-л. внутреннего органа человека или животного; участок тела человека или животного'. Примеры: грудная область; боль в области сердца. Подробнее см. "Большой толковый словарь" под ред. С. А. Кузнецова
https://gramota.ru/poisk?query=область&mode=slovari&dicts[]=42
Предлог в области существует, он употребляется при указании на сферу, в которой что-либо распространяется или рамками которой ограничивается. Синонимичен предлогу в сфере, оба предлога употребляются в книжной речи. Пример:
В области преподавания иностранных языков в последнее время наблюдается определенное оживление.
Оба прилагательных возможны, но лишь в разговорной речи.
Рыбачить на озере, на реке; ловить рыбу в озере, в реке.
Да, оба эти слова пишутся с прописной (большой) буквы при таком употреблении.
Выражение жизнеспособно, но не в канцелярском стиле.
Лучше написать: период моды на...
