Нет, кавычки не нужны.
Обе формы сказуемого верны.
Акне – существительное женского рода (как слова сыпь, болезнь) и среднего рода. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Верно: акне обыкновенная и акне обыкновенное.
Сочетание некорректно, нужно переформулировать.
В этой поговорке не нужны ни тире, ни дефисы.
Вы имеете в виду программу проверки правописания, встроенную в Microsoft Word? Всецело доверять ей не стоит. Программа хороша для выявления описок, опечаток, которые трудно заметить при чтении текста с экрана, но, если речь идет о пунктуации или грамматике, особо полагаться на нее не следует.
Корректно: В ответ на Ваше обращение, поступившее на официальный сайт города, сообщаем...
