Буква б в этом слове обозначает звонкий согласный [б].
Можно передать произношение как [жжэч], [зжэч] или [шжэч] в зависимости от фонетического окружения слова.
Корректно: неунывающие, не опускающие рук. В первом случае зависимых слов нет, поэтому написание слитное. Во втором – есть зависимое слово, поэтому не следует писать раздельно.
Да, согласный с в слове костяника – мягкий. См.: Орфоэпический словарь русского языка / Под ред. Р. И. Аванесова. – 8-е изд., стереотип. – М., 2000.
Запятая нужна.
Правильно: заведующий терапевтическим отделением, вуз подготовил специалистов.
См. пособие Е. И. Литневской (таблица в разделе «Глухие и звонкие согласные звуки»).
Сочетание не покладая рук фразеологическое и не требует обособления. Впрочем, возможно и установление отношений уточнения между обстоятельствами хорошо и не покладая рук (=без устали, непрерывно) — в таком случае запятая нужна.
