Корректно: примите поздравления с днем рождения!
Слова "не гордый" выступают в роли сказуемого, с этим связано раздельное написание.
В приведенном значении слово вылупляются не является разговорным. При необходимости можно заменить его синонимом появляются.
Оба варианта возможны.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, чаще ставится в форме именительного падежа множественного числа: две (три, четыре) красные розы. Но и вариант две (три, четыре) красных розы возможен, это не ошибка.
См. в «Письмовнике». Общеупотребительный вариант: день рождения.
Корректно: ...приурочивается к профессиональному празднику – Дню работников нефтяной и газовой промышленности.
