Слово мир пишется со строчной буквы. С прописной буквы пишется имя собственное Мир в составе топонимов (проспект Мира, улица Мира); написание Мир возможно также в том случае, если этому слову по воле автора приписывается особый высокий смысл.

Слово осень может быть написано с большой буквы в стилистических целях (если подчеркивается особый смысл, подчеркивается значимость наступления осени) или если оно используется, например, как название персонажа художественного произведения. В остальных случаях оснований для большой буквы нет.

Написание зависит от того, какой смысл вкладывается в это сложное прилагательное. Если оно связано по смыслу с сочетанием "беззащитное и обнаженное", то корректно дефисное написание. Если же прилагательное связано с сочетанием "беззащитно обнажить", то следует писать раздельно.

Судя по всему, адресат этого высказывания несет дополнительные расходы именно при взыскании задолженности за коммунальные услуги в судебном порядке. Если так, то обособление указанного обстоятельственного оборота в этом предложении не требуется, иначе нужный смысл не будет выражен.

Выбор одного из двух возможных вариантов зависит от того, какой именно смысл (увы, об этом ничего не сказано в вопросе) необходимо выразить в предложении. Примите к сведению толкование значений прилагательных критический и критичный в словарях русского языка.

Слово совершенно может как подчеркивать утверждение, так и усиливать отрицание. Поэтому возможны оба варианта, но смысл будет разный: янтарь ему совершенно неинтересен (подчеркивается утверждение) и янтарь ему совершенно не интересен (усиливается отрицание, возможно синонимичное сочетание вовсе не интересен).

Слово муза в значении 'источник поэтического вдохновения' пишется со строчной буквы. См. словарную фиксацию. Однако оно может писаться с прописной буквы в контекстах, где ему приписывается особый высокий смысл. Именно поэтому Вы встречаете это слово в разном написании. 

Неизвестна – краткое прилагательное. Не с краткими прилагательными может писаться и слитно, и раздельно – в зависимости от того, какой смысл нужно подчеркнуть. Раздельное написание подчеркивает отрицание (отрицается известность), слитное написание подчеркивает утверждение (утверждается неизвестность). Окончательное решение принимает автор текста.

Действительно, справочники не содержат рекомендаций о расстановке знаков препинания в таких разговорных конструкциях. Остается опираться на общие принципы: структуру предложения, смысл и интонацию. Мы рекомендуем следующий вариант: Ему видеть, что мост достроен, хотелось, и что город снова жив.