Форма творительного падежа от названия города Балашова: Балашовом. В русском языке существует правило, согласно которому топонимы на -ов, -ев-, -ин, -ын, -ово, -ево, -ино, -ыно в творительном падеже имеют окончание -ом  — в отличие от имеющих те же финали фамилий славянского происхождения, которые в творительном падеже получают окончание -ым: под городом Балашовом — с Иваном Балашовым.  

По правилам французско-русской практической транскрипции g здесь надо передавать как г, ou как у, ill между произносимыми гласными как й, r как р, d в конце слов не передается. Нет единства во взглядах на передачу a после ll, произносимого как [j]: одни справочники предлагают передавать его через а, другие через я. Получаем допустимые варианты Гуйар и Гуйяр.

Мягкий знак, действительно, выпадает при образований отчеств от имен, которые оканчиваются на мягкий согласный. Это норма языковая, но не юридическая. Юридических оснований для отказа в постановке мягкого знака в отчестве, насколько нам известно, нет (и приводимые Вами примеры об этом свидетельствуют).

Узуальное (общераспространенное) слово с таким значением нам не известно, что, впрочем, не исключает существования какого-либо специального социологического или психологического термина с близкой, возможно обобщенной, семантикой. Если рассматривать представленный Вами список, то ни одно из слов не показалось приемлемым, ясным по значению.

Предполагаем, что специалисты по ономастике уже нашли термин, обозначающий практику использования коммерческих названий, похожих на брендовые наименования. Поскольку нам этот термин пока не известен, то допускаем возможность употребления неологизмов, способных выразить идею ложного дублирования коммерческих имен; ср.: коммерческая квазиноминация, квазинаименования, квазиназвания.

Приложение – определение, выраженное именем существительным, согласующимся с определяемым словом в падеже (город-крепость, художник-пейзажист). Обособленные приложения – выделенные интонационно и пунктуационно члены предложения, выступающие в функции приложения. (Прославленный разведчик, Травкин остался тем же тихим и скромным юношей. Глашатай лесов – кукушка известила всех о событии.)

Сказуемые не понимали и не пытались понять обозначают действия одного и того же субъекта. В придаточной части сложного предложения субъект не назван, но он известен и даже был назван ранее — мы. Поэтому следует квалифицировать придаточное предложение причины как содержащее однородные сказуемые.

Деепричастий иская и ловля не существует, правильно: ища, ловя. Но, насколько нам известно, в этом детском стихотворении употребляются глаголы (Я поохотился за лето: грибы искал, мышей ловил), иначе не будет рифмы (Устал я, выбился из сил). Возможно, кто-то что-то неправильно услышал или записал?