Корректно: Нужно узнать, насколько аргументированны его заявления.
Конструкция во втором предложении грамматически неясна.
Запятые не нужны: Он по старой памяти покровительствует данной организации.
Запятая нужна. Обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова.
Западно... пишется слитно как первая часть сложных прилагательных с подчинительным отношением основ. Нормативно: западнокалифорнийский.
Да, верно.
Дело в том, что такого слова нет.
Правильно: Думаю, по приезде домой Елена поделится не только своими впечатлениями об отдыхе, но и фотографиями. Обратите внимание на орфографию (поделится) и грамматику (по приезде).
Содержательной разницы нет. Правильнее говорить: срок действия - с такого-то по такое-то число (до такого-то).
По подписи найти вопрос нельзя, можно найти по словам из вопроса (строка «Искать на Грамоте» в разделе «Справочная служба»).