Лучше: с 13 по 17 декабря 2019 г.
Обособление необязательно. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Правильно: бить кого-либо по чему-либо: бить его по лицу. Вариант бить кому-либо недопустим.
Верно: в городе Москве; УМВД по г. Старый Оскол.
Правильно: Старшему инструктору по вождению пожарной машины — водителю.
Верно: обязательства по приобретению и поставке (=обязательства приобрести и поставить). Но в знач. "после приобретения" - по приобретении.
Правильнее: по согласованию с заказчиком, изготовитель поступил так-то. И наоборот.
Вариант за водой, за грибами общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.
Деепричастный оборот обособляется, например: Смело по зебре шагая, мы переходим дорогу. Внутри деепричастного оборота Смело по зебре шагая запятые не ставятся.
