Мы отвечаем на Ваши вопросы.

Такая форма есть, хотя она вытесняется сочетаниями со словом давайте: будемте друзьями - давайте будем друзьями. Вот что говорит "Русская грамматика" (1980):

§ 1479. Формы совместного действия – это формы мн. ч.; обозначаемое ими побуждение всегда относится к двум или более лицам: к собеседнику (либо собеседникам, группе лиц, включающих собеседника) и к самому говорящему. Значение повелит. накл. у этих форм выражается при помощи постфикса -те, присоединяемого: 1) у глаголов сов. вида и у глаголов однонаправленного движения – к форме 1 л. мн. ч. изъявит. накл.: пойдемте, поедемте, идемте, летимте, плывемте; Ребята! Не Москва ль за нами? Умремте ж под Москвой (Лерм.); А, впрочем, станемте-ка лучше чай пить (Тург.); 2) у глаголов несов. вида (кроме глаголов однонаправленного движения) – к частице давай, соединяющейся с инфинитивом этого глагола: давайте петь, давайте играть; Давайте, – говорю, – ласковые, в жмурки по полянке бегать (Леск.). Частица давай(те) употребляется и при формах совместного действия глаголов сов. вида: давай(те) напишем; давай(те) сыграем; Зовет меня взглядом и криком своим И вымолвить хочет: Давай улетим! (Пушк.). Из возможных дублетных образований типа покормимте – давайте покормим, сыграемте – давайте сыграем более употребительны сочетания с частицей давай(те).

В формах, образованных с помощью частицы давай, постфикс -те обычно присоединяется к этой частице, но в разг. речи возможно присоединение постфикса и к частице, и к форме глагола одновременно: давайте напишем и давайте напишемте; Давайте, знаете, | устроимте карусель | на дереве изучения добра и зла! (Маяк.).

   В том случае, если в формах совместного действия отсутствует постфикс -те (при вежливом обращении обязательный), эти формы: 1) совпадают с формами буд. вр. простого (у глаголов сов. вида: поедем, простимся, сыграем) и наст. вр. (у глаголов несов. в. однонаправленного движения: едем, бежим, летим); 2) совпадают с формами буд. вр. сложного (у глаголов несов. вида: будем играть, будем гулять); 3) образуются сочетанием частицы давай с инфинитивом глагола несов. вида, обозначая при этом совместное действие говорящего и собеседника: давай играть. Формы совместного действия типа будем играть употребляются редко; более употребительна аналитическая форма с частицей давай(те) и инфинитивом глагола несов. вида: давай(те) играть, давай(те) гулять.

При совпадении форм совместного действия с формами 1 л. мн. ч. буд. вр. простого или буд. вр. сложного первые характеризуются как формы повелит. накл. на основании речевой ситуации и интонации, соотносящих эти формы с формами совместного действия типа поедемте, сыграемте, будемте играть: [Cаша:] (Львову) Вот теперь и подумайте: понимаете вы себя или нет? Тупые, бессердечные люди! (Берет Иванова за руку). Пойдем отсюда, Николай! Отец, пойдем! (Чех.). Совпадением форм совместного действия гл. сов. и несов. вида типа пойдем, сыграем, будем играть с формами буд. вр. этих глаголов объясняется употребление сочетаний с частицей давай(те), распространенное для глаголов сов. вида (давай(те) пойдем и давайте пойдемте) и грамматически возможное, но редкое, для глаголов несов. вида (давай(те) будем играть и давайте будемте играть).

Ваш вопрос не вполне понятен. Эти слова никак не влияют на определение вида глагола.  После них могут употребляться и глаголы несовершенного вида (надо читать, должен ехать), и глаголы совершенного вида (надо прочитать, должен приехать). 

Глаголы совершенного вида отвечают в инфинитиве на вопрос что сделать? и обозначают законченное действие (прочитать) или действие, достигшее определенного предела (похудеть). Глаголы несовершенного вида отвечают в инфинитиве на вопрос что делать? и не обозначают законченного действия (читать) или действия, достигшего определенного предела (худеть).

Надругаться – глагол совершенного вида. От него образуется деепричастие совершенного вида надругавшись. Деепричастия несовершенного вида образуются от глаголов несовершенного вида.

В предложении Ребята решили собрать/собирать букет из листьев оба варианта равноправны. Разница лишь в том, что при выборе глагола несов. вида (собирать) делается акцент на процессе, а при выборе глагола сов. вида — на результате. Почему учитель решил, что правилен только один вариант, по представленным сведениям понять невозможно. Не исключено, что контекст, по мнению учителя, должен был подталкивать к выбору глагола несов. вида (например, если в предыдущих фразах повествуется о том, как ребята долго и мучительно придумывали, чем бы заняться долгим осенним днем: в таком случае акцент на собирании листьев как занятии, целью которого является сам процесс, кажется оправданным). Однако даже если контекст и подталкивал к выбору глагола несов. вида, использование его пары сов. вида ошибкой не является.

Опоздать (что сделать?) – глагол совершенного вида. Опаздывать (что делать?) – глагол несовершенного вида. А одно из основных правил проверки безударных гласных звучит так: гласные о – а в неударяемых корнях глаголов совершенного вида нельзя проверять формами несовершенного вида. Так что слово опаздывать для проверки как раз не подходит. Проверочное слово – поздно.

Ошибки в нахождении инфинитива обычно связаны с подменой искомого инфинитива инфинитивом глагола, входящего в видовую пару. Например, для формы глагола совершенного вида подгонят приводят инфинитив глагола несовершенного вида подгонять вместо правильного подогнать; для формы глагола совершенного вида откроется — инфинитив глагола открывать вместо открыть; для формы летаешь — инфинитив лететь вместо летать; для формы сядешь — садиться вместо сесть и т. п.

Чтобы исключить эту ошибку, рассуждать нужно так:

• ты (что сделаешь?) посадишь;
• это глагол совершенного вида, значит, чтобы определить инфинитив, надо задать вопрос (что сделать?) посадить;
• глагол оканчивается на -ить, следовательно, это глагол II спряжения;
• пишем в личном окончании 2 лица И: ты посадишь.

Для носителей русского языка правильное определение видовой принадлежности форм глагола с помощью вопросов не представляет трудности. Эта тема сложна для иностранцев, изучающих русский язык, так как в их родных языках нет категории вида в той форме, в которой она представлена в русском языке.

От одного и того же глагола могут быть образованы как формы причастий, так и отглагольные прилагательные. Если для образования причастий и прилагательных используются разные по звуковому (буквенному) составу суффиксы, различить их несложно: от глагола гореть с помощью суффикса -ящ- образуется причастие горящий, а с помощью суффикса -юч- – прилагательное горючий. Если же и причастия, и прилагательные образуются с помощью суффиксов, имеющих одинаковый звуковой (буквенный) состав (например, -енн- или -им-), различить их труднее.

Однако различия между причастиями и прилагательными есть и в этом случае.

1. Причастия обозначают временный признак предмета, связанный с его участием (активным или пассивным) в действии, а прилагательные обозначают постоянный признак предмета (например, ‘возникший в результате осуществления действия’, ‘способный участвовать в действии’), ср.:

Она была воспитана в строгих правилах (=Ее воспитали в строгих правилах) – причастие;

Она была воспитанна, образованна (=Она была воспитанная, образованная) – прилагательное.

2. Слово в полной форме с суффиксом -н-(-нн-), -ен-(-енн)- является отглагольным прилагательным, если оно образовано от глагола несов. вида и не имеет зависимых слов, и является причастием, если образовано от глагола сов. вида и/или имеет зависимые слова, ср.:

некошеные луга (прилагательное),

не кошенные косой луга (причастие, т. к. есть зависимое слово),

скошенные луга (причастие, т. к. сов. вида).

3. Поскольку страдательные причастия настоящего времени могут быть только у переходных глаголов несов. вида, слова с суффиксами -им-, -ем- являются прилагательными, если они образованы от глагола сов. вида или непереходного глагола:

непромокаемые сапоги (прилагательное, т. к. глагол промокать в значении ‘пропускать воду’ непереходный),

непобедимая армия (прилагательное, т. к. глагол победить сов. вида).

См.: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i7

Правильно: Какие только сказочные персонажи не приходят в гости... Восклицательные предложения (в них часто присутствует частица только) пишутся с не.