Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Правильно: Мы прибываем в аэропорт Внуково города Москвы.
Верно: ...города Орла.
Правильно: в Ельце, в городе Ельце.
Верно: малый и средний бизнес важен для города.
Корректно: ...более чем в два миллиона.
Правильно: в Красноярске и (в канцелярской речи) в городе Красноярске.
Возможны оба варианта решения, оно зависит от задач пишущего. Но при употреблении имени мэра мы рекомендуем инициалы поставить до фамилии: по поручению мэра города Иваново И. И. Иванова.
Географические названия славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом: города Иваново.
Топонимы славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом: детям города Щелково (в «Письмовнике» об этом написано).
